A série Golden Ratio / Fibonacci
ou mapeando as populações de coelhos
(!)
Trechos dos quadros
de mensagens
montados por Garrett Lambert
Louis McGrath perguntou: “ nunca
tendo visto um artigo sobre a Regra de Ouro para Leigos ,
tenho uma pergunta que não consigo responder sozinha. Dada uma medida
vertical de 89 7 / 8 ",
dividido em três comprimentos diferentes, o mais longo na parte inferior, mais
curto na parte superior, quais são os três comprimentos que se encaixam na
regra de ouro? Uma explicação de como você chegou a sua resposta seria
apreciado. "
Várias respostas muito úteis foram postadas -
copiadas abaixo -, mas nenhuma forneceu informações sobre a origem da
Regra. Minha curiosidade despertou, eu fiz uma pesquisa e encontrei um
site interessante que introduziu o originador da Regra, a 12 ª matemático do
século chamado Leonardo Fibonacci. Como acho que outras pessoas no
WoodCentral ficarão igualmente surpresas - e impressionadas -, entrei em
contato com Karen Sadler, da Universidade de Arkansas, que gentilmente me deu
permissão para usar as informações que retrocedi da seguinte forma:
Leonardo
Fibonacci nasceu em Pisa, Itália, por volta de 1175 e morreu algum tempo
depois de 1240. Seu pai era Guilielmo Bonacci, secretário da República de
Pisa. Seu pai também era funcionário da alfândega da cidade de Bugia, no
norte da África. Algum tempo depois de 1192. Bonacci levou seu filho com
ele para Bugia. Guilielmo queria que Leonardo se tornasse comerciante e,
assim, organizou sua instrução em técnicas de cálculo, especialmente aquelas
que envolviam os números hindu-árabes que ainda não haviam sido introduzidos
na Europa. Como Fibonacci era filho de um comerciante, ele pôde viajar
livremente por todo o Império Bizantino. Isso lhe permitiu visitar
muitos dos centros comerciais da região, onde ele aprendeu a matemática dos
estudiosos e os esquemas de cálculo usados na época. Ele retornou a
Pisa por volta de 1200 para se tornar o maior matemático europeu da Idade
Média. Ele foi o primeiro a introduzir o sistema numérico hindu-árabe na
Europa e, em 1202, concluiu um livro sobre como fazer aritmética no sistema
decimal (intituladoLiber abaci . Ele descreve as regras que
todos aprendemos agora no ensino fundamental para somar, subtrair,
multiplicar e dividir).
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Os
interesses e habilidades matemáticos de Leonardo englobavam tanto o prático
quanto o teórico. Um problema na terceira seção de Liber abaci levou
à introdução dos números de Fibonacci : "Um certo homem
colocou um par de coelhos em um local cercado por todos os lados por uma
parede. Quantos pares de coelhos podem ser produzidos a partir desse par em
um ano se se supõe que todos os meses cada par gera um novo par que a partir
do segundo mês se torna produtivo? "
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Ao
mapear as populações de coelhos, Fibonacci descobriu uma série numérica da
qual se pode derivar a Seção Dourada. Aqui está o começo da sequência:
1
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1
|
2
|
3
|
5
|
8,
|
13,
|
21
|
34,
|
55,
|
...
|
Cada
número é a soma dos dois números anteriores da seguinte maneira:
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1
|
=
|
1
|
+
|
0 0
|
2
|
=
|
1
|
+
|
1
|
3
|
=
|
2
|
+
|
1
|
5
|
=
|
3
|
+
|
2
|
8
|
=
|
5
|
+
|
3
|
13
|
=
|
8
|
+
|
5
|
21
|
=
|
13
|
+
|
8
|
34
|
=
|
21
|
+
|
13
|
55
|
=
|
34
|
+
|
21
|
...
|
...
|
...
|
...
|
...
|
e
continua a crescer exponencialmente.
|
O
matemático francês Edouard Lucas (1842-1891) deu o nome de números de
Fibonacci a esta série e encontrou muitas outras aplicações
importantes para eles. A Sociedade Fibonacci foi fundada em 1962, e um
jornal, The Fibonacci Quarterly , apareceu pela primeira vez
em 1963, dedicado a desvendar seus segredos. Havia muitos segredos a
serem encontrados.
A
sequência de Fibonacci não é especial apenas porque é uma sequência
exponencial. A sequência de Fibonacci aparece em todos os tipos de
lugares estranhos ... e nos dá a proporção
áurea . À medida que você avança cada vez mais à direita
nesta sequência, a proporção de um termo para o termo anterior converge para
a Proporção áurea (o que
significa que se aproximará cada vez mais da proporção
áurea ).
|
A Proporção áurea é um número
especial aproximadamente igual a 1,6180339887498948482. Usamos a letra
grega Φ (Phi, taxa pronunciada ) para nos referir a essa
proporção. Como π (Pi), os dígitos da Proporção áurea
duram para sempre sem repetir. Geralmente é melhor usar sua definição
exata:
O retângulo dourado também mostra
a proporção áurea . Um retângulo dourado é um retângulo com
proporções que
são dois números consecutivos da sequência de Fibonacci. O
exemplo à direita, 1, 2, é o mais comum, mas os retângulos dourados estão
por toda parte - use cartões de índice 3 x 5, como outro exemplo.
No diagrama à esquerda, o ACDF é um retângulo
dourado, ABEF é um quadrado e BCDE é um retângulo dourado. A proporção
entre o comprimento do lado mais longo e o comprimento do lado mais curto de um
retângulo dourado é a Proporção áurea .
 A proporção áurea pode ser derivada
matematicamente desse relacionamento pela proporção mostrada à direita.
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 Se resolvermos a equação que
aparece acima para x , descobriremos que é o valor
|
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e é a proporção áurea ! Se
você possui um retângulo de ouro e recorta um quadrado, o retângulo restante
também será um retângulo de ouro. Você pode cortar esses quadrados e obter
retângulos dourados cada vez menores.
A Espiral Dourada
A proporção áurea também pode ser vista
em espiral. Uma espiral pode ser desenhada a partir do
diagrama acima, dividindo o BCDE em um quadrado e
outro retângulo dourado e continuando a separar os retângulos dourados em
quadrados e novos retângulos dourados. A primeira parte da espiral é
desenhada com um ponto de bússola em B e um arco de A a E; a seguir, o
ponto da bússola em G e um arco de E a H. Continue dessa maneira até que a
espiral seja concluída para sua satisfação. A espiral aparece na natureza
em conchas, pétalas de flores e pinhas.
A Espiral Dourada à
esquerda foi criada fazendo quadrados adjacentes de dimensões de
Fibonacci. Um arco é então feito através de cada quadrado. Essa
espiral é chamada equiangular, porque a cada quarto de volta (90 ° ou π / 2), a
espiral aumenta em um fator de Φ. Ou seja, se você tomar um ponto e depois
um segundo ponto a um quarto de volta dele, o segundo ponto será Φ vezes mais
distante do centro do que o primeiro ponto. Todas as espirais
equiangulares ou logarítmicas aumentam em um fator de Φ.
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Quando
a espiral dourada é representada graficamente em um eixo polar, ela se parece
com a imagem à direita.
As coordenadas de um ponto, como A, são
escritas como .
|
Os
pontos também podem ser escritos em termos de .
Nesses
casos,
 e 
.
 Se
você combinar essas duas equações, você terminará com
.
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E agora, para as respostas úteis à pergunta
original de Louis:
Dan Donaldson : Você pode
brincar um pouco com eles para ajustá-los às frações, mas aqui está uma maneira
de fazê-lo. Tomei a série Fibonicci como: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34.
Você poderia ir mais alto, mas acho que não fará muita diferença na
precisão. Então eu adicionei-se os três últimos números-13, 21 e 34 para
obter 68. Tomei a razão entre o 89 7 / 8 (arredondado
para 90) e tem 1,32. Tomei 1,32 vezes os três últimos números e obtive
17,2, 27,8 e 45 como as três distâncias.
Hoa Dinh : Eu consegui
17 3 / 16 "27 ¾" , e 44 15 / 16 "
Call-los a, b, c, a partir de mais curto para o mais longo.. Relação
dourada dá: c = 1,618 xb e b = 1,618 x um. assim, a + b + c = a + (1,618
xa) + (1.618 x 1,618 Xa) = 5,236 Xa = 89 7 / 8 Resolver para
a, b, e c.
Sam Simpson : Uma regra
simples que sempre o aproxima muito é lembrar a regra grega de 2–3–5. Com um
tijolo com lados dimensionados 2, 3, 5 que criam faces de 2x3, 2x5 e 3x5, você
pode empilhar qualquer número deles, em qualquer combinação para criar qualquer
coisa.
Se você pegar cada um desses números 2, 3, 5 e
adicioná-los = 10, em seguida, divida-os em sua altura, deixe-o arredondar para
90 por uma questão de simplicidade e divida-o por dez, obtendo um fator de
nove. 2x9 = 18 3x9 = 27 5x9 = 45 Assim, 18, 27, 45. Veja como esses
números estão próximos dos números de Dan?
Dan Donaldson : Na verdade,
foi exatamente isso que eu fiz, a única coisa é que Sam usou números muito mais
fáceis de trabalhar. 2, 3 e 5 são três dos números de Fibonacci. Eu
apenas usei um pouco maiores para fazer a mesma coisa. Tecnicamente, a
precisão melhorará à medida que você usa números maiores, mas a diferença é
insignificante e os números de Sam são mais fáceis de trabalhar.
Aviso! Se você não é um nerd de matemática,
provavelmente não deseja ler mais.
Φ, que é a proporção que a série Fibonacci acabará
resolvendo é 1,618033989 arredondada para nove casas decimais. 5/3 dará
1,666666667, que é cerca de 3% alto (103,0056648%). A divisão 34/21
fornece 1.619047619, que é cerca de 6/100 de um percentual alto
(100,0626458%). Isso indica que a série converge rapidamente.
Na prática, o 2–3–5 é muito mais fácil de lembrar e
é preciso o suficiente para a maioria dos trabalhos, pois você terá que brincar
com todas as dimensões para obter algo que possa medir.
. . . montado por Garrett Lambert
com trechos de The Message Boards
Traduzido pelo blog com auxilio do Translate Google.
Medidor de Fibonacci
por Derek Cohen (em Perth, Austrália)
)
Outra maneira de medir a Seção Dourada é usar um medidor de Fibonacci. Aqui está um que eu fiz de madeira e bronze da Tasmânia.
Em vez de parafusos, fiz rebites de latão.
Veja o link abaixo para um vídeo sobre seu uso, cortesia da Wood Magazine, bem como um plano para download (por um pequeno preço de compra).
. . . Derek Cohen (em Perth, Austrália)
Então mãos a obra e sinta essa satisfação, esse prazer.
