Ah! E se falando em madeira...: WoodCentral: Fibonacci Gauge

domingo, 2 de agosto de 2020

WoodCentral: Fibonacci Gauge

A série Golden Ratio / Fibonacci

ou mapeando as populações de coelhos (!)

Trechos dos quadros de mensagens
montados por Garrett Lambert

Louis McGrath perguntou: “ nunca tendo visto um artigo sobre a Regra de Ouro para Leigos , tenho uma pergunta que não consigo responder sozinha. Dada uma medida vertical de 89 ⁷ / 8 ", dividido em três comprimentos diferentes, o mais longo na parte inferior, mais curto na parte superior, quais são os três comprimentos que se encaixam na regra de ouro? Uma explicação de como você chegou a sua resposta seria apreciado. "

Várias respostas muito úteis foram postadas - copiadas abaixo -, mas nenhuma forneceu informações sobre a origem da Regra. Minha curiosidade despertou, eu fiz uma pesquisa e encontrei um site interessante que introduziu o originador da Regra, a 12 ^ª matemático do século chamado Leonardo Fibonacci. Como acho que outras pessoas no WoodCentral ficarão igualmente surpresas - e impressionadas -, entrei em contato com Karen Sadler, da Universidade de Arkansas, que gentilmente me deu permissão para usar as informações que retrocedi da seguinte forma:

Leonardo Fibonacci nasceu em Pisa, Itália, por volta de 1175 e morreu algum tempo depois de 1240. Seu pai era Guilielmo Bonacci, secretário da República de Pisa. Seu pai também era funcionário da alfândega da cidade de Bugia, no norte da África. Algum tempo depois de 1192. Bonacci levou seu filho com ele para Bugia. Guilielmo queria que Leonardo se tornasse comerciante e, assim, organizou sua instrução em técnicas de cálculo, especialmente aquelas que envolviam os números hindu-árabes que ainda não haviam sido introduzidos na Europa. Como Fibonacci era filho de um comerciante, ele pôde viajar livremente por todo o Império Bizantino. Isso lhe permitiu visitar muitos dos centros comerciais da região, onde ele aprendeu a matemática dos estudiosos e os esquemas de cálculo usados na época. Ele retornou a Pisa por volta de 1200 para se tornar o maior matemático europeu da Idade Média. Ele foi o primeiro a introduzir o sistema numérico hindu-árabe na Europa e, em 1202, concluiu um livro sobre como fazer aritmética no sistema decimal (intituladoLiber abaci . Ele descreve as regras que todos aprendemos agora no ensino fundamental para somar, subtrair, multiplicar e dividir).

Os interesses e habilidades matemáticos de Leonardo englobavam tanto o prático quanto o teórico. Um problema na terceira seção de Liber abaci levou à introdução dos números de Fibonacci : "Um certo homem colocou um par de coelhos em um local cercado por todos os lados por uma parede. Quantos pares de coelhos podem ser produzidos a partir desse par em um ano se se supõe que todos os meses cada par gera um novo par que a partir do segundo mês se torna produtivo? "

Ao mapear as populações de coelhos, Fibonacci descobriu uma série numérica da qual se pode derivar a Seção Dourada. Aqui está o começo da sequência:

13,

34,

55,

...

Cada número é a soma dos dois números anteriores da seguinte maneira:


1	=	1	+	0 0
2	=	1	+	1
3	=	2	+	1
5	=	3	+	2
8	=	5	+	3
13	=	8	+	5
21	=	13	+	8
34	=	21	+	13
55	=	34	+	21
...	...	...	...	...

e continua a crescer exponencialmente.

O matemático francês Edouard Lucas (1842-1891) deu o nome de números de Fibonacci a esta série e encontrou muitas outras aplicações importantes para eles. A Sociedade Fibonacci foi fundada em 1962, e um jornal, The Fibonacci Quarterly , apareceu pela primeira vez em 1963, dedicado a desvendar seus segredos. Havia muitos segredos a serem encontrados.

A sequência de Fibonacci não é especial apenas porque é uma sequência exponencial. A sequência de Fibonacci aparece em todos os tipos de lugares estranhos ... e nos dá a proporção áurea . À medida que você avança cada vez mais à direita nesta sequência, a proporção de um termo para o termo anterior converge para a Proporção áurea (o que significa que se aproximará cada vez mais da proporção áurea ).

A Proporção áurea é um número especial aproximadamente igual a 1,6180339887498948482. Usamos a letra grega Φ (Phi, taxa pronunciada ) para nos referir a essa proporção. Como π (Pi), os dígitos da Proporção áurea duram para sempre sem repetir. Geralmente é melhor usar sua definição exata:

1 + √5

O retângulo dourado também mostra a proporção áurea . Um retângulo dourado é um retângulo com proporções que

são dois números consecutivos da sequência de Fibonacci. O exemplo à direita, 1, 2, é o mais comum, mas os retângulos dourados estão por toda parte - use cartões de índice 3 x 5, como outro exemplo.

No diagrama à esquerda, o ACDF é um retângulo dourado, ABEF é um quadrado e BCDE é um retângulo dourado. A proporção entre o comprimento do lado mais longo e o comprimento do lado mais curto de um retângulo dourado é a Proporção áurea .

A proporção áurea pode ser derivada matematicamente desse relacionamento pela proporção mostrada à direita.

Se resolvermos a equação que aparece acima para x , descobriremos que é o valor

1 + √5

e é a proporção áurea ! Se você possui um retângulo de ouro e recorta um quadrado, o retângulo restante também será um retângulo de ouro. Você pode cortar esses quadrados e obter retângulos dourados cada vez menores.

A Espiral Dourada

A proporção áurea também pode ser vista em espiral. Uma espiral pode ser desenhada a partir do

diagrama acima, dividindo o BCDE em um quadrado e outro retângulo dourado e continuando a separar os retângulos dourados em quadrados e novos retângulos dourados. A primeira parte da espiral é desenhada com um ponto de bússola em B e um arco de A a E; a seguir, o ponto da bússola em G e um arco de E a H. Continue dessa maneira até que a espiral seja concluída para sua satisfação. A espiral aparece na natureza em conchas, pétalas de flores e pinhas.

A Espiral Dourada à esquerda foi criada fazendo quadrados adjacentes de dimensões de Fibonacci. Um arco é então feito através de cada quadrado. Essa espiral é chamada equiangular, porque a cada quarto de volta (90 ° ou π / 2), a espiral aumenta em um fator de Φ. Ou seja, se você tomar um ponto e depois um segundo ponto a um quarto de volta dele, o segundo ponto será Φ vezes mais distante do centro do que o primeiro ponto. Todas as espirais equiangulares ou logarítmicas aumentam em um fator de Φ.

Quando a espiral dourada é representada graficamente em um eixo polar, ela se parece com a imagem à direita.

As coordenadas de um ponto, como A, são escritas como . coordenadas polares

Os pontos também podem ser escritos em termos de . relação das coordenadas polares com Φ

Nesses casos,

r em termos de Φ expresso em termos de θ

Se você combinar essas duas equações, você terminará com

E agora, para as respostas úteis à pergunta original de Louis:

Dan Donaldson : Você pode brincar um pouco com eles para ajustá-los às frações, mas aqui está uma maneira de fazê-lo. Tomei a série Fibonicci como: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. Você poderia ir mais alto, mas acho que não fará muita diferença na precisão. Então eu adicionei-se os três últimos números-13, 21 e 34 para obter 68. Tomei a razão entre o 89⁷ / 8 (arredondado para 90) e tem 1,32. Tomei 1,32 vezes os três últimos números e obtive 17,2, 27,8 e 45 como as três distâncias.

Hoa Dinh : Eu consegui 17³ / 16 "27 ¾" , e 44¹⁵ / 16 " Call-los a, b, c, a partir de mais curto para o mais longo.. Relação dourada dá: c = 1,618 xb e b = 1,618 x um. assim, a + b + c = a + (1,618 xa) + (1.618 x 1,618 Xa) = 5,236 Xa = 89⁷ / 8 Resolver para a, b, e c.

Sam Simpson : Uma regra simples que sempre o aproxima muito é lembrar a regra grega de 2–3–5. Com um tijolo com lados dimensionados 2, 3, 5 que criam faces de 2x3, 2x5 e 3x5, você pode empilhar qualquer número deles, em qualquer combinação para criar qualquer coisa.

Se você pegar cada um desses números 2, 3, 5 e adicioná-los = 10, em seguida, divida-os em sua altura, deixe-o arredondar para 90 por uma questão de simplicidade e divida-o por dez, obtendo um fator de nove. 2x9 = 18 3x9 = 27 5x9 = 45 Assim, 18, 27, 45. Veja como esses números estão próximos dos números de Dan?

Dan Donaldson : Na verdade, foi exatamente isso que eu fiz, a única coisa é que Sam usou números muito mais fáceis de trabalhar. 2, 3 e 5 são três dos números de Fibonacci. Eu apenas usei um pouco maiores para fazer a mesma coisa. Tecnicamente, a precisão melhorará à medida que você usa números maiores, mas a diferença é insignificante e os números de Sam são mais fáceis de trabalhar.

Aviso! Se você não é um nerd de matemática, provavelmente não deseja ler mais.

Φ, que é a proporção que a série Fibonacci acabará resolvendo é 1,618033989 arredondada para nove casas decimais. 5/3 dará 1,666666667, que é cerca de 3% alto (103,0056648%). A divisão 34/21 fornece 1.619047619, que é cerca de 6/100 de um percentual alto (100,0626458%). Isso indica que a série converge rapidamente.

Na prática, o 2–3–5 é muito mais fácil de lembrar e é preciso o suficiente para a maioria dos trabalhos, pois você terá que brincar com todas as dimensões para obter algo que possa medir.

. . . montado por Garrett Lambert
com trechos de The Message Boards

Original em inglês: http://www.woodcentral.com//articles/shop/articles_546.shtml

Traduzido pelo blog com auxilio do Translate Google.

Medidor de Fibonacci